Introduction

    Techniques graphiques de
     résolution de problèmes
    
    
    
    
    
    Abaque
    
    
    
    Avantages/Inconvénients
    
    1) Calcul par le trait
       ... on construit
       
    2) Abaques (ou Nomogrammes)
       ... on lit
      
       
    Diagramme rassemblant des
    résultats calculés à l'avance Evite des calculs répétitifs Précision limitée Faible coût de fabrication Facilité d'utilisation

    Plan

    Bases de la théorie
    
    
    
    Méthode géométrique
    
    
    
    Méthode analytique
    
    
    
    
    Exemples pratiques
    
    
    Evolution de la théorie
    
    
    
    Conclusion
    
    
    Fondateurs
    Exemple : Fonction z = x.y 
    
    
    Coordonnées parallèles
    Dualité projective
    
    
    Déterminants
    Equation d'une droite
    Etapes de construction
    Equation z3 + pz + q = 0
    
    
    
    
    Développements complémentaires
    Diffusion internationale
    Les abaques aujourd'hui ?
    
    Retour vers z = x.y
    

    Louis-Ezéchiel Pouchet (1748-1809)

    
    Faisceau d'hyperboles
    
    a = 4
    b = 5
    
    c = a x b = 20
    
    
    
    

    Léon-Louis Lalanne (1811-1892)

    
    Droites concourantes
    
    Anamorphose géométrique
    
    Echelles fonctionnelles
    log(c) = log(a) + log(b)
    
    a = 4
    b = 5
    
    c = a x b = 20
    
    
    
    
    

    Maurice d'Ocagne (1862-1938)

    
    
    Points alignés
    
    a = 4
    b = 5
    
    c = a x b = 20
    
    
    
    

    Junius Massau (1852-1909)

    
    Anamorphose généralisée
    
    La relation F(x,y,z) = 0 est représentable par un abaque 
    à droites concourantes si, et seulement si, il existe 
    des fonctions d'une seule variable f1, f2, f3, g1, g2, g3, 
    h1, h2, h3 telles que
    
    
    
    Ce déterminant est appelé Déterminant de Massau
    

    Coordonnées parallèles - 1 : La droite

    
    
    Ligne de base AB
    
    Axes Au et Bv
    
    
    Coordonnées
    de la droite MN :
    
    u = AM, v = BN
    
    
    
    

    Coordonnées parallèles - 2 : Le point

    
    
    Point fixe P
    Droite variable MN
    
    On pose :
    AA'= a, BB'= b
    
    Coordonnées de MN :
    AM = u, BN = v
    
    
    Equation du point P : 
    u/a + v/b - 1 = 0
    
    
    
    

    Dualité projective

    
    
    
     
    
     
    
    
    
    

    Déterminants

    
    
    
    

    Equation d'une droite

    
    
    
     
    
     
    
    
    
    

    Abaque à points alignés : Principe

    
    
    

    Construction d'un abaque à points alignés - 1

    
    
    Etape (1) 
    
    
    Disjoindre les variables
    
    
    Déterminant de Massau
    
    
    
    

    Construction d'un abaque à points alignés - 2

    
    
    Etape (2)
    
    
    Mettre en forme
    le déterminant
    
    Les éléments de D 
    sont des constantes
    
    
    
    

    Construction d'un abaque à points alignés - 3

    
    
    Etape (3)
    
    
    Tracer les courbes
    (a), (b), (c) 
     
    cotées selon les 
    valeurs a, b, c
    
    
    
    

    Equation z3 + pz + q = 0

    
    

    Equation z3 + pz + q = 0

    
    
    Exemple : z3 - 7z + 6 = 0 (1)
    
    Racines positives : 1 et 2
    Joindre p=-7 et q=+6
    
    Racine négative : -3 
    Joindre p=-7 et q=-6
    
    
    En changeant z en -z,
    on obtient z3 - 7z - 6 = 0 (2)
    
    Les racines positives de (2)
    sont aussi les racines 
    négatives de (1)
    
    
    
    

    Exemples - Cliquer sur l'image pour l'agrandir


    Compteur universel
    
    
    
    Le Triomphe (1)
    
    
    
    Le Triomphe (2)
    
    
    
    x = a + b + c + d
    
    
    


    Surface corporelle
    
    
    
    1/x1 + 1/x2 = 1/x
    
    
    
    Temps d'usinage
    
    
    
    Quadripôle
    
    
    

    Evolution de la théorie

    
    Développements complémentaires
    
        Ingénieurs : Lallemand, Soreau ...
    	
    Mathématiciens : Clark, Gronwall ...
    
    
    Diffusion internationale
    
    Allemagne, URSS ...
    
    
    Les abaques aujourd'hui ?